更新时间：2022-09-24 10:03
变换群是几何学研究的重要对象。即由变换构成的群。设G是集合S的一一变换所构成的集合，若它满足：1.集合内任二变换之积仍属于这集合；2.集合内任一变换的逆变换仍属于这集合，
设G是一个非空集合，G的元素间定义一种运算“○”。如果G满足以下的条件：
1.（运算封闭性）对于G中的任意两个元素a、b，恒有a○b∈G；
2.（结合律）对于G中的任意三个元素a、b、c，恒有(a○b)○c=a○(b○c)；
3.（单位元）存在单位元e∈G，使得对于G中的任意元素a，都有e○a=a；
4.（逆元）对于G中的任意元素a,存在a的逆元b∈G，使得b○a=e。
则称G关于运算“○”作为一个群。简称G是一个群。
设A是一个非空集合，A的若干个一一变换对于变换的乘法所作成的群称为A的一个变换群。
一组变换，对变换的乘积构成的群。设G为M上的有限或无限个变换的集合，若满足下面两个条件：①集合G中任意两个变换的乘积仍属于G；②集合G中每一个变换必有其逆变换，而且这个逆变换也属于G，则称G为M上的一个变换群。
例如，平移变换可以构成一个群：平面上任意两个平移变换的积仍是平移变换;每个平移变换都有逆变换，这个逆变换就是按原变换相反方向的变换，所以仍是平移变换(参见“平移变换的性质”).
用变换群来研究对应的几何学的观点，是由德国数学家克莱茵首先提出来的。1872年，克莱茵在埃尔朗根大学的教授就职演讲中，提出题为《关于近代几何研究的比较》的论文，论述了变换群在几何中的主导作用.他把到当时为止已发现的所有的几何，统一在变换群的观点之下，明确地给出了几何的一种新定义，即把几何定义为在某个变换群之下研究图形不变性质与不变量的一门科学.这种观点突出了变换群在研讨几何中的地位，为用近代数学方法研究几何学开辟了道路，因此后来把它简称为《埃尔朗根纲领》。
按照变换群的观点，几何学可以这样分类：研究射影变换群、仿射变换群、相似变换群、正交变换群下不变性质和不变量的几何学分别是射影几何学、仿射几何学、抛物几何学、欧氏几何学。正交变换群也称为运动群，欧氏几何学的主要内容就是研究运动群下不变性质和不变量的几何学。近代发展很快、应用越来越广的一门学科——拓扑学，就是研究拓扑变换下不变性质和不变量的几何学。
群是一种只有一个运算的、比较简单的代数结构；是可用来建立许多其他代数系统的一种基本结构。
设G为一个非空集合，a、b、c为它的任意元素。如果对G所定义的一种代数运算“·”(称为“乘法”，运算结果称为“乘积”)满足：
(1)封闭性，a·b∈G;
(2)结合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)对G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，则称G对于所定义的运算“·”构成一个群。例如，所有不等于零的实数，关于通常的乘法构成一个群;时针转动(关于模12加法)，构成一个群。
满足交换律的群，称为交换群。
群是数学最重要的概念之一，已渗透到现代数学的所有分支及其他学科中。凡是涉及对称，就存在群。例如，可以用研究图形在变换群下保持不变的性质，来定义各种几何学，即利用变换群对几何学进行分类。可以说，不了解群，就不可能理解现代数学。
1770年，拉格朗日在讨论代数方程根之间的置换时，首先引入群的概念，而它的名称，是伽罗华在1830年首先提出的。
克莱因是著名德国数学家、数学史家、物理学家。在拓扑学、几何学上有很多贡献。他认识到群论的重要性，把群的概念广泛应用于很多数学分支。在1872年，发表了著名的《埃尔兰根纲领》。他提出了按照在变换群下保持不变的性质，来对几何学加以分类的观点，用群论统一了几何学。对近代几何学的发展有深远的影响，并为狭义相对论的创立准备了条件。1886年以后，长期在哥廷根大学任教，是哥廷根学派全盛时期的杰出代表。他关于数学统一性的观点，对希尔伯特有很大的影响。他还提出，数学应该与实际紧密联系。他组织了许多数学讨论班，通过教学活动使学生对数学的整体得到全面的认识。他在教定理时，只讲证明的梗概，而把证明留给学生自己去完成。他首先倡导改革中等教育的数学内容，对近代数学教育有重要的影响。
简称射影群。是一类基本的变换群。即由射影空间中全体射影变换所构成的变换群。例如平面上全体射影变换构成平面上的射影群。空间中全体射影变换构成空间中的射影群。研究在射影群下不变性质与不变量的几何称为射影几何。
简称仿射群。一类基本的变换群。即由仿射空间中全体仿射变换所构成的变换群。例如，平面上的全体仿射变换构成平面上的仿射变换群，它是平面射影变换中以无穷远直线为绝对形的自同构群。空间中全体仿射变换构成空间的仿射变换群，它是空间射影变换中以无穷远平面为绝对形的自同构群。研究在仿射群下不变性质与不变量的几何称为仿射几何。
亦称抛物度量群。简称相似群。一类基本的变换群.平面上所有相似变换的集合构成群，称为相似变换群。它是一个四维群。仿射变换群的子群。在仿射变换中若保持一对点I(1，i，0)，J(1，-i，0)不变，则为相似变换。相似变换保持同素性，结合性及共线三点的单比不变，还保持两直线所构成的角度不变。相似变换把一个图形变为与它相似的图形。与相似变换群相对应的几何学称为相似几何学或抛物几何学。
亦称运动群或度量群。简称正交群。一类基本的变换群。即全体正交变换所构成的变换群。例如，平面上全体正交变换的集合构成平面上的正交群，空间中正交变换的全体构成空间中的正交群。平面上(空间中)的正交群是平面上(空间中)仿射群的子群。研究正交群下不变性质与不变量的几何称为欧氏几何或度量几何。