更新时间:2023-06-16 07:04
数学上,对称群描述物体的所有对称性。这是通过群作用的概念来形式化的:群的每个元素作为一个双射(或者对称作用)作用在某个集合上。在这个情况下,群称为置换群(特别是在群有限或者不是线性空间时)或者变换群(特别是当这个集合是线性空间而群作为线性变换作用在集合上时)。一个群G的置换表示是群作为一个集合的置换群的群表示(通常该集合有限),并且可以表述为置换矩阵,一般在有限的情形作此考虑-这和作用在有序的线性空间基上是一样的。
若 为一个群而 为一个集合,则 在 上的一个(左)群作用是一个二元函数
(其中 和 的像写作 ),满足如下两条公理:
1. 对于所有 和 成立;
2. 对于每个 成立 ( 代表 的单位元)。
从这两条公理,可以得出对于每个 ,映射 到 的函数是一个双射,从 映射到 。因此,也可以将 在 上的群作用定义为从 到对称群 的群同态。
若群作用 给定,我们称“G作用于集合X”或者X是一个G-集合。
完全一样地,可以定义一个G在X上的右群作用为函数 ,满足以下公理:
注意左和右作用的区别仅在于像 这样的积在 上作用的次序。对于左作用 先作用然后是,而对于右作用先作用然后是。从一个右作用可以构造一个左作用,只要和群上的逆操作复合就可以了。如果为一右作用,则
是一左作用,因为
而
所以在这里,我们只考虑左群作用,因为右作用可以相应推理。
设为目标集,群作用在上,,则集合称为在作用下的一个轨道,为此轨道的代表元。
由轨道的定义可得如下性质,
性质1:若在中定义二元关系为:存在,使,则是中的等价关系,且每一个等价类就是一个轨道。
性质2:,即轨道中任意元素都有资格作为代表元。
性质3:构成的一个划分,因而有。
设群作用在上,,,若,则称为的一个不动点(fixpoint)。以为不动点的所有群元素的集构成的子群
称为的稳定子群(Stabilizer)。
关于稳定子群与其轨道关系有如下轻质:
1)轨道公式:
2)同一轨道上的元素的稳定子群是互相共轭的: